Правила сложения векторов. Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки Как сложить векторы по правилу параллелограмма
Для того чтобы совершить операцию сложения векторов, существует несколько способов, которые, в зависимости от ситуации и типа рассматриваемых векторов, могут быть более удобны в применении. Давайте рассмотрим правила сложения векторов:
Правило треугольника
Правило треугольника заключается в следующем: для того чтобы сложить два вектора х, y нужно построить вектор х так, чтобы его начало совпадало с концом вектора у. Тогда их суммой будет являться значение вектора z, при этом начало вектора z будет совпадать с началом вектора х, а конец - с концом вектора у.
Правило треугольника помогает, в случае если количество векторов, которые необходимо просуммировать, не более двух.
Правило многоугольника
Правило многоугольника наиболее простое и удобно для сложения любого количества векторов на плоскости или в пространстве. Суть правила заключается в следующем: при сложении векторов нужно последовательно пристраивать их один за другим, так чтобы начало последующего вектора совпадало с концом предыдущего, при этом вектор, который замыкает образовавшуюся кривую, является суммой слагаемых векторов. Наглядно это отображает равенство w= x + y + z, где вектор w является суммой указанных векторов. Кроме того, необходимо отметить, что от перемены мест слагаемых векторов сумма не меняется, то есть (x +y) + z = x + (y +z).
Правило параллелограмма
Правило параллелограмма используется для сложения векторов, которые исходят из одной точки. В этом правиле говорится о том, что суммой векторов x и y, имеющих начало в одной точке, будет являться третий вектор z, исходящий также из этой точки и при этом векторы x и y являются сторонами параллелограмма, а вектор z - его диагональю. В этом случае также не имеет значения, в каком порядке будут складываться векторы.
Таким образом, правило многоугольника, правило треугольника и правило параллелограмма помогают решать задачи сложения векторов абсолютно любой сложности, как на плоскости, так и в пространстве.
Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно рассматривать как перемещение точки из положения \(A\) (начало движения) в положение \(B\) (конец движения). То есть траектория движения в этом случае не важна, важны только начало и конец!
\(\blacktriangleright\)
Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на двух параллельных прямых.
В противном случае векторы называются неколлинеарными.
\(\blacktriangleright\)
Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными.
Правила сложения коллинеарных векторов:
сонаправленных конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).
Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow{b}\) :
\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).
Нужно от конца вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\) . Тогда сумма – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow {a}\) , а конец – с концом вектора \(\overrightarrow {b}\) .
\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).
Нужно от начала вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\) . Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow {b}\) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}\) , нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(-\overrightarrow{b}\) : \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) (рис. 5).
Задание 1 #2638
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\) , точка \(O\) – центр описанной около данного треугольника окружности. Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}=\{1;1\}\) , \(\overrightarrow{AC}=\{-1;1\}\) . Найдите сумму координат вектора \(\overrightarrow{OC}\) .
Т.к. треугольник \(ABC\) - прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. \(O\) - середина \(BC\) .
Заметим, что \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\) , следовательно, \(\overrightarrow{BC}=\{-1-1;1-1\}=\{-2;0\}\) .
Т.к. \(\overrightarrow{OC}=\dfrac12 \overrightarrow{BC}\) , то \(\overrightarrow{OC}=\{-1;0\}\) .
Значит, сумма координат вектора \(\overrightarrow{OC}\) равна \(-1+0=-1\) .
Ответ: -1
Задание 2 #674
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
\(ABCD\) – четырёхугольник, на сторонах которого отложены векторы \(\overrightarrow{AB}\) , \(\overrightarrow{BC}\) , \(\overrightarrow{CD}\) , \(\overrightarrow{DA}\) . Найдите длину вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\) .
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
, \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\)
, тогда
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} = \vec{0}\)
.
Нулевой вектор имеет длину, равную \(0\)
.
Вектор можно воспринимать как перемещение, тогда \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) – перемещение из \(A\) в \(B\) , а затем из \(B\) в \(C\) – в итоге это перемещение из \(A\) в \(C\) .
При такой трактовке становится очевидным, что \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\) , ведь в итоге здесь из точки \(A\) переместились в точку \(A\) , то есть длина такого перемещения равна \(0\) , значит, и сам вектор такого перемещения есть \(\vec{0}\) .
Ответ: 0
Задание 3 #1805
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан параллелограмм \(ABCD\) . Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) . Пусть , , тогда \(\overrightarrow{OA} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\)
\[\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(-\vec{b} - \vec{a}) = - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = - \frac{1}{2}\) , \(y = - \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -1\) .
Ответ: -1
Задание 4 #1806
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан параллелограмм \(ABCD\) . Точки \(K\) и \(L\) лежат на сторонах \(BC\) и \(CD\) соответственно, причем \(BK:KC = 3:1\) , а \(L\) – середина \(CD\) . Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) , \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\) , тогда \(\overrightarrow{KL} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\) , где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\) .
\[\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CL} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}\] \(\Rightarrow\) \(x = -\frac{1}{2}\) , \(y = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0,25\) .
Ответ: -0,25
Задание 5 #1807
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан параллелограмм \(ABCD\) . Точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(AD\) и \(BC\) соответственно, причем \(AM:MD = 2:3\) , а \(BN:NC = 3:1\) . Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) , \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\) , тогда \(\overrightarrow{MN} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\)
\[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = - \frac{2}{5}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = -\frac{2}{5}\vec{b} + \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} = \vec{a} + \frac{7}{20}\vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac{7}{20}\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0,35\) .
Ответ: 0,35
Задание 6 #1808
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан параллелограмм \(ABCD\) . Точки \(P\) лежит на диагонали \(BD\) , точка \(Q\) лежит на стороне \(CD\) , причем \(BP:PD = 4:1\) , а \(CQ:QD = 1:9\) . Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) , \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\) , тогда \(\overrightarrow{PQ} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\) , где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x\cdot y\) .
\[\begin{gathered} \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DQ} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BD} + \frac{9}{10}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} =\\ = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} + \frac{7}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{7}{10}\vec{a}\end{gathered}\]
\(\Rightarrow\) \(x = \frac{7}{10}\) , \(y = \frac{1}{5}\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0,14\) . и \(ABCO\) – параллелограмм; \(AF \parallel BE\) и \(ABOF\) – параллелограмм \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \vec{a} + \vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\) .
Ответ: 2
Старшеклассники, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов, обязательно должны повторить тему «Правила сложения и вычитания нескольких векторов». Как видно из многолетней практики, подобные задания каждый год включаются в аттестационное испытание. Если у выпускника вызывают трудности задачи из раздела «Геометрия на плоскости», к примеру, в которых требуется применить правила сложения и вычитания векторов, ему обязательно стоит повторить или вновь разобраться в материале, чтобы успешно сдать ЕГЭ.
Образовательный проект «Школково» предлагает новый подход в подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс выстроен таким образом, чтобы учащиеся смогли выявить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.
Для того чтобы задачи ЕГЭ, в которых необходимо применить правила сложения и вычитания двух векторов, не вызывали затруднений, мы рекомендуем прежде всего освежить в памяти базовые понятия. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».
Если вы уже вспомнили правило вычитания векторов и основные определения по данной теме, предлагаем закрепить полученные знания, выполнив соответствующие упражнения, которые подобрали специалисты образовательного портала «Школково». Для каждой задачи на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ. В теме «Правила сложения векторов» представлены различные упражнения; выполнив два-три сравнительно легких задания, учащиеся могут последовательно переходить к более сложным.
Оттачивать собственные навыки по таким, например, заданиям, как школьники имеют возможность в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.
Вектор - направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом .
Вектор с началом в точке A {\displaystyle A} и концом в точке B {\displaystyle B} принято обозначать как . Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда - чёрточкой) над ними, например . Другой распространённый способ записи: выделение символа вектора жирным шрифтом: a {\displaystyle \mathbf {a} } .
Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector , несущий ). Итак, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} естественно определяет перенос, при котором точка A {\displaystyle A} перейдет в точку B {\displaystyle B} , также и обратно, параллельный перенос, при котором A {\displaystyle A} переходит в B {\displaystyle B} , определяет собой единственный направленный отрезок A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} (единственный - если считать равными все направленные отрезки одинакового направления и - то есть рассматривать их как ; действительно, при параллельном переносе все точки смещаются в одинаковом направлении на одинаковое расстояние, так что в таком понимании A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … {\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}={\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}={\overrightarrow {A_{3}B_{3}}}=\dots } ).
Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию - как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.
Основные понятия
Вектором называется направленный отрезок построенный по двум точкам, одна из которых считается началом, а другая концом.
Координаты вектора определяются как разность координат точек его начала и конца. Например, на координатной плоскости, если даны координаты начала и конца: T 1 = (x 1 , y 1) {\displaystyle T_{1}=(x_{1},y_{1})} и T 2 = (x 2 , y 2) {\displaystyle T_{2}=(x_{2},y_{2})} , то координаты вектора будут: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) {\displaystyle {\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})} .
Длиной вектора V → {\displaystyle {\overrightarrow {V}}} называется расстояние между двумя точками T 1 {\displaystyle T_{1}} и T 2 {\displaystyle T_{2}} , её обычно обозначают | V → | = | T 2 − T 1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 {\displaystyle |{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}
Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор , у которого начало и конец совпадают T 1 = T 2 {\displaystyle T_{1}=T_{2}} ; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления .
Для координатного представления векторов большое значение имеет понятие проекции вектора на ось (направленную прямую, см. рисунок). Проекцией называется длина отрезка, образованного проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую, причём проекции приписывается знак плюс, если направление проекции соответствует направлению оси, иначе - знак минус. Проекция равна длине исходного вектора, умноженной на косинус угла между исходным вектором и осью; проекция вектора на перпендикулярную ему ось равна нулю.
Применения
Векторы находят широкое применение в геометрии и в прикладных науках, где используются для представления величин, имеющих направление (силы, скорости и т. п.). Применение векторов упрощает ряд операций - например, определение углов между прямыми или отрезками, вычисление площадей фигур . В компьютерной графике векторы-нормали используются, чтобы создать правильное освещение тела. Использование векторов может быть положено в основу метода координат .
Виды векторов
Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех направленных отрезков (рассматривая как различные все направленные отрезки, начала и концы которых не совпадают), берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество), то есть, некоторые направленные отрезки рассматривают как равные, если они имеют одинаковое направление и длину, хотя они могут иметь разное начало (и конец), то есть направленные отрезки одинаковой длины и направления считаются представляющими один и тот же вектор; таким образом, каждому вектору оказывается соответствующим целый класс направленных отрезков, одинаковых по длине и направлению, но различающихся началом (и концом).
Так, говорят о «свободных» , «скользящих» и «фиксированных» векторах . Эти виды отличаются понятием равенства двух векторов.
- Говоря о свободных векторах, отождествляют любые векторы, имеющие одинаковое направление и длину;
- говоря о скользящих векторах - добавляют, что начала равных скользящих векторов должны совпадать или лежать на одной прямой, на которой лежат изображающие эти векторы направленные отрезки (так что один может быть совмещен с другим перемещением в направлении, им же самим задаваемом);
- говоря о фиксированных векторах - говорят, что равными считаются только векторы, у которых совпадают и направления, и начала (то есть в этом случае факторизации нет: нет двух фиксированных векторов с различными началами, которые считались бы равными).
Формально:
Говорят, что свободные векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и равны, если найдутся точки E {\displaystyle E} и F {\displaystyle F} такие, что четырёхугольники A B F E {\displaystyle ABFE} и C D F E {\displaystyle CDFE} - параллелограммы .
Говорят, что скользящие векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и C D → {\displaystyle \ {\overrightarrow {CD}}} равны, если
Скользящие векторы особо употребимы в механике . Простейший пример скользящего вектора в механике - сила , действующая на твердое тело. Перенос начала вектора силы вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы относительно любой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (даже почти всегда вызовет): поэтому при вычислении момента нельзя рассматривать силу как свободный вектор, то есть, нельзя её считать приложенной к произвольной точке твердого тела.
Говорят, что фиксированные векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и C D → {\displaystyle \ {\overrightarrow {CD}}} равны, если попарно совпадают точки A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} , B {\displaystyle B} и D {\displaystyle D} .
Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы - это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности . Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.
Все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами и т. д.) в принципе определены одинаково для всех типов векторов, различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено - или лишено смысла - сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена - или имеет смысл - она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса и т. п.), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).
Отношения между векторами
Координатное представление
При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат и в ней определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам. Разложение по базису геометрически можно представить при помощи проекций вектора на координатные оси. Если известны координаты начала и конца вектора, координаты самого вектора получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала.
A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x − A x , B y − A y , B z − A z) {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_{z})}За базис часто выбирают координатные орты , обозначаемые i → , j → , k → {\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}} , соответственно осям x , y , z {\displaystyle x,y,z} . Тогда вектор a → {\displaystyle {\vec {a}}} можно записать как
a → = a x i → + a y j → + a z k → {\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}}Любое геометрическое свойство можно записать в координатах, после чего исследование из геометрического становится алгебраическим и при этом часто упрощается. Обратное, вообще говоря, не совсем верно: обычно принято говорить , что «геометрическое истолкование» имеют лишь те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные ).
Операции над векторами
Модуль вектора
Модулем вектора A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} называется число, равное длине отрезка A B {\displaystyle AB} . Обозначается, как | A B → | {\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|} . Через координаты вычисляется, как:
| a → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 {\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}}Сложение векторов
В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:
a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}Для геометрического построения вектора суммы c → = a → + b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}} используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.
Правило треугольника
Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса , соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :
Правило трёх точек
Если отрезок A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} изображает вектор a → {\displaystyle {\vec {a}}} , а отрезок B C → {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}} изображает вектор b → {\displaystyle {\vec {b}}} , то отрезок A C → {\displaystyle {\overrightarrow {AC}}} изображает вектор a → + b → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}} .
Правило многоугольника
Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же n {\displaystyle n} векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n {\displaystyle n} -го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.
Правило параллелограмма
Для сложения двух векторов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).
Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.
Модуль суммы векторов
Модуль суммы двух векторов можно вычислить, используя теорему косинусов :
| a → + b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos (a → , b →) {\displaystyle |{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})} , где a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} .Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку - между сторонами треугольника - что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в её прямой формулировке.
Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:
| a → + b → + c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | a → | | b → | cos (a → , b →) + 2 | a → | | c → | cos (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos (b → , c →) . {\displaystyle |{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+|{\vec {c}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})+2|{\vec {a}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {a}},{\vec {c}})+2|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {b}},{\vec {c}}).}Вычитание векторов
Два вектора a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} и вектор их разности
Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:
a → − b → = (a x − b x , a y − b y , a z − b z) {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})}Для получения вектора разности c → = a → − b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} начала векторов соединяются и началом вектора c → {\displaystyle {\vec {c}}} будет конец b → {\displaystyle {\vec {b}}} , а концом - конец a → {\displaystyle {\vec {a}}} . Если записать, используя точки векторов, то A C → − A B → = B C → {\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}} .
Модуль разности векторов
Три вектора a → , b → , a → − b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}} , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:
| a → − b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | cos (a → , b →) , {\displaystyle |{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}}),}где cos (a → , b →) {\displaystyle \cos({\vec {a}},{\vec {b}})} - косинус угла между векторами a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → . {\displaystyle {\vec {b}}.}
Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор b → {\displaystyle {\vec {b}}} переносится к концу вектора a → {\displaystyle {\vec {a}}} , когда же ищется модуль разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).
Вектор - направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом .
Вектор с началом в точке A {\displaystyle A} и концом в точке B {\displaystyle B} принято обозначать как . Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда - чёрточкой) над ними, например . Другой распространённый способ записи: выделение символа вектора жирным шрифтом: a {\displaystyle \mathbf {a} } .
Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector , несущий ). Итак, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} естественно определяет перенос, при котором точка A {\displaystyle A} перейдет в точку B {\displaystyle B} , также и обратно, параллельный перенос, при котором A {\displaystyle A} переходит в B {\displaystyle B} , определяет собой единственный направленный отрезок A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} (единственный - если считать равными все направленные отрезки одинакового направления и - то есть рассматривать их как ; действительно, при параллельном переносе все точки смещаются в одинаковом направлении на одинаковое расстояние, так что в таком понимании A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … {\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}={\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}={\overrightarrow {A_{3}B_{3}}}=\dots } ).
Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию - как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.
Основные понятия [ | ]
Вектором называется направленный отрезок построенный по двум точкам, одна из которых считается началом, а другая концом.
Координаты вектора определяются как разность координат точек его начала и конца. Например, на координатной плоскости, если даны координаты начала и конца: T 1 = (x 1 , y 1) {\displaystyle T_{1}=(x_{1},y_{1})} и T 2 = (x 2 , y 2) {\displaystyle T_{2}=(x_{2},y_{2})} , то координаты вектора будут: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) {\displaystyle {\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})} .
Длиной вектора V → {\displaystyle {\overrightarrow {V}}} называется расстояние между двумя точками T 1 {\displaystyle T_{1}} и T 2 {\displaystyle T_{2}} , её обычно обозначают | V → | = | T 2 − T 1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 {\displaystyle |{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}
Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор , у которого начало и конец совпадают T 1 = T 2 {\displaystyle T_{1}=T_{2}} ; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления .
Для координатного представления векторов большое значение имеет понятие проекции вектора на ось (направленную прямую, см. рисунок). Проекцией называется длина отрезка, образованного проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую, причём проекции приписывается знак плюс, если направление проекции соответствует направлению оси, иначе - знак минус. Проекция равна длине исходного вектора, умноженной на косинус угла между исходным вектором и осью; проекция вектора на перпендикулярную ему ось равна нулю.
Применения [ | ]
Векторы находят широкое применение в геометрии и в прикладных науках, где используются для представления величин, имеющих направление (силы, скорости и т. п.). Применение векторов упрощает ряд операций - например, определение углов между прямыми или отрезками, вычисление площадей фигур . В компьютерной графике векторы-нормали используются, чтобы создать правильное освещение тела. Использование векторов может быть положено в основу метода координат .
Виды векторов [ | ]
Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех направленных отрезков (рассматривая как различные все направленные отрезки, начала и концы которых не совпадают), берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество), то есть, некоторые направленные отрезки рассматривают как равные, если они имеют одинаковое направление и длину, хотя они могут иметь разное начало (и конец), то есть направленные отрезки одинаковой длины и направления считаются представляющими один и тот же вектор; таким образом, каждому вектору оказывается соответствующим целый класс направленных отрезков, одинаковых по длине и направлению, но различающихся началом (и концом).
Так, говорят о «свободных» , «скользящих» и «фиксированных» векторах . Эти виды отличаются понятием равенства двух векторов.
- Говоря о свободных векторах, отождествляют любые векторы, имеющие одинаковое направление и длину;
- говоря о скользящих векторах - добавляют, что начала равных скользящих векторов должны совпадать или лежать на одной прямой, на которой лежат изображающие эти векторы направленные отрезки (так что один может быть совмещен с другим перемещением в направлении, им же самим задаваемом);
- говоря о фиксированных векторах - говорят, что равными считаются только векторы, у которых совпадают и направления, и начала (то есть в этом случае факторизации нет: нет двух фиксированных векторов с различными началами, которые считались бы равными).
Формально:
Говорят, что свободные векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и равны, если найдутся точки E {\displaystyle E} и F {\displaystyle F} такие, что четырёхугольники A B F E {\displaystyle ABFE} и C D F E {\displaystyle CDFE} - параллелограммы .
Говорят, что скользящие векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и C D → {\displaystyle \ {\overrightarrow {CD}}} равны, если
Скользящие векторы особо употребимы в механике . Простейший пример скользящего вектора в механике - сила , действующая на твердое тело. Перенос начала вектора силы вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы относительно любой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (даже почти всегда вызовет): поэтому при вычислении момента нельзя рассматривать силу как свободный вектор, то есть, нельзя её считать приложенной к произвольной точке твердого тела.
Говорят, что фиксированные векторы A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} и C D → {\displaystyle \ {\overrightarrow {CD}}} равны, если попарно совпадают точки A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} , B {\displaystyle B} и D {\displaystyle D} .
Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы - это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности . Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.
Все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами и т. д.) в принципе определены одинаково для всех типов векторов, различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено - или лишено смысла - сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена - или имеет смысл - она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса и т. п.), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).
Отношения между векторами [ | ]
Координатное представление [ | ]
При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат и в ней определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам. Разложение по базису геометрически можно представить при помощи проекций вектора на координатные оси. Если известны координаты начала и конца вектора, координаты самого вектора получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала.
A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x − A x , B y − A y , B z − A z) {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_{z})}За базис часто выбирают координатные орты , обозначаемые i → , j → , k → {\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}} , соответственно осям x , y , z {\displaystyle x,y,z} . Тогда вектор a → {\displaystyle {\vec {a}}} можно записать как
a → = a x i → + a y j → + a z k → {\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}}Любое геометрическое свойство можно записать в координатах, после чего исследование из геометрического становится алгебраическим и при этом часто упрощается. Обратное, вообще говоря, не совсем верно: обычно принято говорить , что «геометрическое истолкование» имеют лишь те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные ).
Операции над векторами [ | ]
Модуль вектора [ | ]
Модулем вектора A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} называется число, равное длине отрезка A B {\displaystyle AB} . Обозначается, как | A B → | {\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|} . Через координаты вычисляется, как:
| a → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 {\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}}Сложение векторов [ | ]
В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:
a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}Для геометрического построения вектора суммы c → = a → + b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}} используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.
Правило треугольника [ | ]
Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса , соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :
Правило трёх точек [ | ]
Если отрезок A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} изображает вектор a → {\displaystyle {\vec {a}}} , а отрезок B C → {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}} изображает вектор b → {\displaystyle {\vec {b}}} , то отрезок A C → {\displaystyle {\overrightarrow {AC}}} изображает вектор a → + b → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}} .
Правило многоугольника [ | ]
Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же n {\displaystyle n} векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n {\displaystyle n} -го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.
Правило параллелограмма [ | ]
Для сложения двух векторов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).
Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.
Модуль суммы векторов [ | ]
Модуль суммы двух векторов можно вычислить, используя теорему косинусов :
| a → + b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos (a → , b →) {\displaystyle |{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})} , где a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → {\displaystyle {\vec {b}}} .Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку - между сторонами треугольника - что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в её прямой формулировке.
Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:
| a → + b → + c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | a → | | b → | cos (a → , b →) + 2 | a → | | c → | cos (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos (b → , c →) . {\displaystyle |{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+|{\vec {c}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})+2|{\vec {a}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {a}},{\vec {c}})+2|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {b}},{\vec {c}}).}Вычитание векторов [ | ]
Два вектора a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} и вектор их разности
Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:
a → − b → = (a x − b x , a y − b y , a z − b z) {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})}Для получения вектора разности c → = a → − b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} начала векторов соединяются и началом вектора c → {\displaystyle {\vec {c}}} будет конец b → {\displaystyle {\vec {b}}} , а концом - конец a → {\displaystyle {\vec {a}}} . Если записать, используя точки векторов, то A C → − A B → = B C → {\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}} .
Модуль разности векторов [ | ]
Три вектора a → , b → , a → − b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}} , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:
| a → − b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | cos (a → , b →) , {\displaystyle |{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}}),}где cos (a → , b →) {\displaystyle \cos({\vec {a}},{\vec {b}})} - косинус угла между векторами a → {\displaystyle {\vec {a}}} и b → . {\displaystyle {\vec {b}}.}
Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор b → {\displaystyle {\vec {b}}} переносится к концу вектора a → {\displaystyle {\vec {a}}} , когда же ищется модуль разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).
Умножение вектора на число [ | ]
Умножение вектора
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
на число
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
, даёт сонаправленный вектор с длиной в
α
{\displaystyle \alpha }
раз больше.
Умножение вектора
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
на число
α
<
0
{\displaystyle \alpha <0}
, даёт противоположно направленный вектор с длиной в
|
α
|
{\displaystyle |\alpha |}
раз больше.
Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число.
Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.
Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.
Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.
Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:
1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);
Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.
Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:
Модуль вектора обозначается так:
или - модуль
вектора
,
или - модуль
вектора
,
или - модуль
вектора
,
На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.
2.2. Действия с векторами
Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.
2.2.1 Сравнение векторов
Равные векторы. Два вектора равны, если они имеют:
равные модули,
одинаковые направления.
Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:
равные модули,
противоположные направления.
2.2.2 Сложение векторов
Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.
Пусть заданы два
вектора
и
(см.
рис.). Найдем сумму этих векторов
+
=
.
Величины
и
- это составляющие векторы, вектор
- это результирующий вектор.
Правило параллелограмма для сложения двух векторов:
1
.
Нарисуем вектор
.
2.
Нарисуем вектор
так,
что его начало совпадает с началом
вектора
;
угол между векторами равен
(см. рисунок).
3.
Через конец вектора
.
4.
Через конец вектора
проведем прямую линию, параллельную
вектору
.
Мы
построили параллелограмм. Стороны этого
параллелограмма – составляющие векторы
и
.
5.
Проведем диагональ параллелограмма из
общей точки начала вектора
и начала вектора
.
6.
Модуль результирующего вектора
равен длине диагонали параллелограмма
и определяется по формуле:
начало
вектора
совпадает
с началом вектора
и началом вектора
(направление
вектора
показано на рисунке).
Правило треугольника для сложения двух векторов:
1.
Нарисуем составляющие векторы
и
так, что начало вектора
совпадает с концом вектора
.
При этом угол между векторами равен
.
2.
Результирующий вектор
направлен
так, что его начало совпадает с началом
вектора
,
а конец совпадает с концом вектора
.
3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:
2.2.3 Вычитание векторов
Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:
Найти разность
вектора
и вектора
- это тоже самое, что найти сумму вектора
и вектора
,
противоположного вектору
.
Мы можем найти вектор разности
геометрически по правилу параллелограмма
или по правилу треугольника (см. рис.).
Правило параллелограмма.
Стороны параллелограмма
- вектор
и вектор -
;
диагональ параллелограмма - вектор
разности
.
Правило треугольника.
Вектор разности
соединяет конец вектора
и конец вектора
(начало
вектора
совпадает с концом вектора
).
2.2.4 Умножение вектора на скаляр
Пусть заданы вектор
и скалярn.
Найдем произведение вектора
и скалярного вектораn.
В
результате умножения вектора на скаляр
мы получаем новый вектор
:
Направление
вектора
такое же, как направление вектора
при
.
Направление
вектора
противоположно направлению вектора
при
.
Модуль
вектора
вn
раз больше модуля вектора
,
если
.
2.3. Скалярное и векторное произведения
2.3.1 Скалярное произведение
Из
двух векторов
и
можно
образовать скаляр по правилу:
Это
выражение называется скалярным
произведением векторов
и
,
или
.
Следовательно,
. 
=
.
По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1)
,
2)
,
3)
2.3.2 Векторное произведение
Из двух векторов
и
можно
образовать новый вектор:
,
где
Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:
.
Эта операция
называется векторным произведением
векторов
и
и обозначается одним из символов
или
.
Также общеизвестна формула
,
где
- угол между векторами
и
.
Направление
вектора
можно найти, используя следующий прием.
Мысленно совмещаем продольную ось
буравчика (правого винта, штопора) с
перпендикуляром к плоскости, в которой
лежат перемножаемые векторы (в данном
примере – векторы
и
). Затем начинаем вращать головку винта
(ручку штопора) по направлению кратчайшего
поворота от первого сомножителя ко
второму, то есть от вектора
к вектору
.
Направление движения тела винта и будет
являться направлением вектора
.
Этот прием называетсяправилом
правого винта или правилом буравчика
(см.
рис.).
В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.
