Прямоугольный параллелепипед — Гипермаркет знаний. Определения параллелепипеда. Основные свойства и формулы Параллелепипед в чем измеряется

Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат - борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого "борщевого" прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.

В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.

Линейные угловые функции - это законы сложения. Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.

Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания. А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.

Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или единицы измерения.

На рисунке показаны два уровня различий для математических . Первый уровень - это различия в области чисел, которые обозначены a , b , c . Это то, чем занимаются математики. Второй уровень - это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U . Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень - различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями. Буквой W я обозначу воду, буквой S обозначу салат и буквой B - борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.

Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики - мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.

И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.

Первый вариант . Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.

Второй вариант . Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.

Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.

Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.

Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).

Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что . Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните - все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: "деление на ноль невозможно", "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю", "за выколом точки ноль" и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу - это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что " мы покрасили". Но я немного отвлекся.

Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.

Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).

Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.

Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))

Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.

Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.

Появление математики на нашей планете.

Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.

суббота, 26 октября 2019 г.

Просмотрел интересное видио про ряд Гранди Один минус один плюс один минус один - Numberphile . Математики врут. Они не выполнили проверку равенства в ходе своих рассуждений.

Это перекликается с моими рассуждениями о .

Давайте более детально рассмотрим признаки обмана нас математиками. В самом начале рассуждений, математики говорят, что сумма последовательности ЗАВИСИТ от того, четное количество элементов в ней или нет. Это ОБЪЕКТИВНО УСТАНОВЛЕННЫЙ ФАКТ. Что происходит дальше?

Дальше математики из единицы вычитают последовательность. К чему это приводит? Это приводит к изменению количества элементов последовательности - четное количество изменяется на нечетное, нечетное изменяется на четное. Ведь мы добавили к последовательности один элемент, равный единице. Несмотря на всю внешнюю схожесть, последовательность до преобразования не равна последовательности после преобразования. Даже если мы рассуждаем о бесконечной последовательности, необходимо помнить, что бесконечная последовательность с нечетным количеством элементов не равна бесконечной последовательности с четным количеством элементов.

Ставя знак равенства между двумя разными по количеству элементов последовательностями, математики утверждают, что сумма последовательности НЕ ЗАВИСИТ от количества элементов в последовательности, что противоречит ОБЪЕКТИВНО УСТАНОВЛЕННОМУ ФАКТУ. Дальнейшие рассуждения о сумме бесконечной последовательности являются ложными, поскольку основаны на ложном равенстве.

Если вы видите, что математики в ходе доказательств расставляют скобки, переставляют местами элементы математического выражения, что-нибудь добавляют или убирают, будьте очень внимательны, скорее всего вас пытаются обмануть. Как карточные фокусники, математики различными манипуляциями с выражением отвлекают ваше внимание, чтобы в итоге подсунуть вам ложный результат. Если карточный фокус вы не можете повторить, не зная секрета обмана, то в математике всё гораздо проще: вы даже ничего не подозреваете об обмане, но повторение всех манипуляций с математическим выражением позволяет вам убедить других в правильности полученного результата, точно так же, как когда-то убедили вас.

Вопрос из зала: А бесконечность (как количество элементов в последовательности S), она четная или нечётная? Как можно поменять четность у того, что четности не имеет?

Бесконечность для математиков, как Царство Небесное для попов - никто никогда там не был, но все точно знают, как там всё устроено))) Согласен, после смерти вам будет абсолютно безразлично, четное или нечетное количество дней вы прожили, но... Добавив всего один день в начало вашей жизни, мы получим совсем другого человека: фамилия, имя и отчество у него точно такие же, только дата рождения совсем другая - он родился за один день до вас.

А теперь по существу))) Допустим, конечная последовательность, имеющая четность, теряет эту четность при переходе к бесконечности. Тогда и любой конечный отрезок бесконечной последовательности должен потерять четность. Мы этого не наблюдаем. То, что мы не можем точно сказать, четное или нечетное количество элементов у бесконечной последовательности, совсем не означает, что четность исчезла. Не может четность, если она есть, бесследно исчезнуть в бесконечности, как в рукаве шулера. Для этого случая есть очень хорошая аналогия.

Вы никогда не спрашивали у кукушки, сидящей в часах, в каком направлении вращается стрелка часов? Для неё стрелка вращается в обратном направлении тому, которое мы называем "по часовой стрелке". Как это не парадоксально звучит, но направление вращения зависит исключительно от того, с какой стороны мы вращение наблюдаем. И так, у нас есть одно колесо, которое вращается. Мы не можем сказать, в каком направлении происходит вращение, поскольку мы его можем наблюдать как с одной стороны плоскости вращения, так и с другой. Мы можем только засвидетельствовать факт, что вращение есть. Полная аналогия с четностью бесконечной последовательности S .

Теперь добавим второе вращающееся колесо, плоскость вращения которого параллельна плоскости вращения первого вращающегося колеса. Мы по прежнему не можем точно сказать, в каком направлении вращаются эти колеса, но мы абсолютно точно можем сказать, вращаются оба колеса в одну сторону или в противоположные. Сравнивая две бесконечные последовательности S и 1-S , я при помощи математики показал, что у этих последовательностей разная четность и ставить знак равенства между ними - это ошибка. Лично я верю математике, я не доверяю математикам))) Кстати, для полного понимания геометрии преобразований бесконечных последовательностей, необходимо вводить понятие "одновременность" . Это нужно будет нарисовать.

среда, 7 августа 2019 г.

Завершая разговор о , нужно рассмотреть бесконечное множество. Дало в том, что понятие "бесконечность" действует на математиков, как удав на кролика. Трепетный ужас перед бесконечностью лишает математиков здравого смысла. Вот пример:

Первоисточник находится . Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:

Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда "дуракам закон не писан". Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.

Что же такое "бесконечная гостиница"? Бесконечная гостиница - это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре "для посетителей" заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами "для гостей". Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у "бесконечной гостиницы" бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда - всегда только один, гостиница - она одна, коридор - только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно "впихнуть невпихуемое".

Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует - одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.

Вариант первый. "Пусть нам дано" одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:

Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.

Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю - РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:

Нижние индексы "один" и "два" указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.

Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.

Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения - это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).

pozg.ru

воскресенье, 4 августа 2019 г.

Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:

Читаем: "... богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы."

Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:

Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.

За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду - имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.

суббота, 3 августа 2019 г.

Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.

Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку "люди" Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения "половой признак" и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество "люди" превратилось в множество "люди с половыми признаками". После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой - мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет - умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.

После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат - "множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин". Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.

Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.

Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как "правильно" применять их "знания". Этим "знаниям" они обучают нас.

В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
Покажу процесс на примере. Отбираем "красное твердое в пупырышку" - это наше "целое". При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть "целого" и формируем множество "с бантиком". Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.

А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем "твердое в пупырышку с бантиком" и объединим эти "целые" по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество "красное". Теперь вопрос на засыпку: полученные множества "с бантиком" и "красное" - это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.

Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество "красное твердое в пупырышку с бантиком". Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.

Буква "а" с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется "целое" на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат - элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут "интуитивно" придти к такому же результату, аргументируя его "очевидностью", ведь единицы измерения не входят в их "научный" арсенал.

При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.

Определение

Многогранником будем называть замкнутую поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторую часть пространства.

Отрезки, являющиеся сторонами этих многоугольников, называются ребрами многогранника, а сами многоугольники – гранями . Вершины многоугольников называются вершинами многогранника.

Будем рассматривать только выпуклые многогранники (это такой многогранник, который находится по одну сторону от каждой плоскости, содержащей его грань).

Многоугольники, из которых составлен многогранник, образуют его поверхность. Часть пространства, которую ограничивает данный многогранник, называется его внутренностью.

Определение: призма

Рассмотрим два равных многоугольника \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) , находящихся в параллельных плоскостях так, что отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2, ..., A_nB_n\) параллельны. Многогранник, образованный многоугольниками \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) , а также параллелограммами \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\) , называется (\(n\) -угольной) призмой .

Многоугольники \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) называются основаниями призмы, параллелограммы \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\) – боковыми гранями, отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\) – боковыми ребрами.
Таким образом, боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.

Рассмотрим пример - призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\) , в основании которой лежит выпуклый пятиугольник.

Высота призмы – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (рис. 1), в противном случае – прямой . У прямой призмы боковые ребра являются высотами, а боковые грани – равными прямоугольниками.

Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной .

Определение: понятие объема

Единица измерения объема – единичный куб (куб размерами \(1\times1\times1\) ед\(^3\) , где ед - некоторая единица измерения).

Можно сказать, что объем многогранника – это величина пространства, которую ограничивает этот многогранник. Иначе: это величина, числовое значение которой показывает, сколько раз единичный куб и его части вмещаются в данный многогранник.

Объем имеет те же свойства, что и площадь:

1. Объемы равных фигур равны.

2. Если многогранник составлен из нескольких непересекающихся многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.

3. Объем – величина неотрицательная.

4. Объем измеряется в см\(^3\) (кубические сантиметры), м\(^3\) (кубические метры) и т.д.

Теорема

1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Площадь боковой поверхности - сумма площадей боковых граней призмы.

2. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы: \

Определение: параллелепипед

Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Все грани параллелепипеда (их \(6\) : \(4\) боковые грани и \(2\) основания) представляют собой параллелограммы, причем противоположные грани (параллельные друг другу) представляют собой равные параллелограммы (рис. 2).

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани (их \(8\) : \(AC_1, \ A_1C, \ BD_1, \ B_1D\) и т.д.).

Прямоугольный параллелепипед - это прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
Т.к. это прямой параллелепипед, то боковые грани представляют собой прямоугольники. Значит, вообще все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны (это следует из равенства треугольников \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) и т.д.).

Замечание

Таким образом, параллелепипед обладает всеми свойствами призмы.

Теорема

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \

Теорема

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его ребер, выходящих из одной вершины (три измерения прямоугольного параллелепипеда): \

Доказательство

Т.к. у прямоугольного параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами, то есть \(h=AA_1=c\) Т.к. в основании лежит прямоугольник, то \(S_{\text{осн}}=AB\cdot AD=ab\) . Отсюда и следует данная формула.

Теорема

Диагональ \(d\) прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (где \(a,b,c\) - измерения параллелепипеда) \

Доказательство

Рассмотрим рис. 3. Т.к. в основании лежит прямоугольник, то \(\triangle ABD\) – прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Т.к. все боковые ребра перпендикулярны основаниям, то \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, т.е. \(BB_1\perp BD\) . Значит, \(\triangle BB_1D\) – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\) , чтд.

Определение: куб

Куб - это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.

Таким образом, три измерения равны между собой: \(a=b=c\) . Значит, верны следующие

Теоремы

1. Объем куба с ребром \(a\) равен \(V_{\text{куба}}=a^3\) .

2. Диагональ куба ищется по формуле \(d=a\sqrt3\) .

3. Площадь полной поверхности куба \(S_{\text{полн.пов-ти куба}}=6a^2\) .

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение и его элементы (диагонали параллелепипеда, стороны параллелепипеда и их свойства). А также рассмотрим свойства граней и диагоналей параллелограмма. Далее решим типовую задачу на построение сечения в параллелепипеде.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение, свойства и его элементы (стороны, диагонали).

Параллелепипед образован с помощью двух равных параллелограммов АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 , которые находятся в параллельных плоскостях. Обозначение: АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 или АD 1 (рис. 1.).

2. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 10, 11, 12 стр. 50

2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки:

а) А, С, В1

б) В1, D1 и середину ребра АА1.

3. Ребро куба равно а. Постройте сечение куба плоскостью проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины, и вычислите его периметр и площадь.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью параллелепипеда?

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы. При этом все грани будут параллелограммами .
Каждый параллелепипед можно рассматривать как призму тремя различными способами, так как за основания можно принять каждые две противоположные грани (на черт. 5 грани ABCD и A"B"C"D", или АВА"В" и CDC"D", или ВСВ"С" и ADA"D").
Рассматриваемое тело имеет двенадцать рёбер, по четыре равных и параллельных между собой.
Теорема 3 . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, совпадающей с серединой каждой из них.
Параллелепипед ABCDA"B"C"D" (черт. 5) имеет четыре диагонали AC", BD", CA", DB". Мы должны доказать, что середины двух каких-либо из них, например АС и BD", совпадают. Это следует из того, что фигура ABC"D", имеющая равные и параллельные стороны АВ и C"D", есть параллелограмм.
Определение 7 . Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, являющийся одновременно и прямой призмой, т. е. параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны к плоскости основания.
Определение 8 . Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник. При этом все его грани будут прямоугольниками.
Прямоугольный параллелепипед представляет собой прямую призму, какую бы из его граней мы ни приняли за основание, так как каждое его ребро перпендикулярно к рёбрам, выходящим с ним из одной вершины, и будет, следовательно, перпендикулярно и к плоскостям граней, определяемых этими рёбрами. В противоположность этому прямой, но не прямоугольный, параллелепипед можно рассматривать как прямую призму только одним способом.
Определение 9 . Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, из которых никакие два не параллельны между собой (например трёх рёбер, выходящих из одной вершины), называются его измерениями. Два |прямоугольных параллелепипеда, имеющих соответственно равные изме- рения, очевидно, равны между собой.
Определение 10 .Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны между собой, так что все его грани - квадраты. Два куба, рёбра которых равны между собой, равны.
Определение 11 . Наклонный параллелепипед, у которого все рёбра равны между собой и углы всех граней равны или пополнительны, называется ромбоэдром.
Все грани ромбоэдра - равные ромбы. (Форму ромбоэдра имеют некоторые кристаллы, имеющие большое значение, например кристаллы исландского шпата.) В ромбоэдре можно найти такую вершину (и даже две противололожные вершины), что все прилежащие к ней углы равны между собой.
Теорема 4 . Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA"B"C"D" (черт. 6) диагонали АС" и BD" равны, так как четырёхугольник ABC"D" - прямоугольник (прямая АВ перпендикулярна к плоскости ВСВ"С", в которой лежит ВС").
Кроме того, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 на основании теоремы о квадрате гипотенузы. Но на основании той же теоремы AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 ; отсюда имеем:
АС" 2 = АВ 2 + АА" 2 +A"D" 2 =АВ 2 + AA" 2 + AD 2 .

Или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них - параллелограмм .

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники .
• Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
• Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок , соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S б =Р о *h, где Р о - периметр основания, h - высота

Площадь полной поверхности S п =S б +2S о, где S о - площадь основания

Объём V=S о *h

Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности S б =2c(a+b), где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности S п =2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Площадь поверхности : $S=6a^2$
Объём : $V=a^3$, где $a$ - ребро куба.

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения :215 .

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом $B$ понимают множество точек $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ вида $B\; =\; \backslash \{x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash \}$

Напишите отзыв о статье "Параллелепипед"

Примечания

Ссылки

Отрывок, характеризующий Параллелепипед